Q相手の場に選ぶことのできるフォロワーがいない場合、『火車』の《ファンファーレ》能力によって【1】をチョイスし、自分のデッキの上1枚を墓場に置くことができますか？

Aいいえ。相手のフォロワーを選ぶことができないので、「相手の場のフォロワー1体を選ぶ。それに1ダメージ。自分のデッキの上1枚を墓場に置く。」をプレイすることができず、自分のデッキの上1枚を墓場に置くことができません。
ただし、相手のフォロワーを選ぶことができない状況であっても、『火車』の《ファンファーレ》能力をプレイする際に、【1】をチョイスすることができます。その場合、適切な目標を選ぶことができないため、プレイすることができず、何も起こりません。（【2】をチョイスしなければならないというわけではありません。）

Q自分の場に「これがいる限り、自分の場の妖怪・フォロワーが与えるダメージを+1する。」という能力を持つ『大妖狐・ギンセツ（EVOLVE）』がいる状況で、『火車』の《ファンファーレ》能力にある「【1】相手の場のフォロワー1体を選ぶ。それに1ダメージ。」を処理する場合、『火車』は相手のフォロワーに2ダメージ与えますか？

Aはい。『大妖狐・ギンセツ（EVOLVE）』の能力によって、妖怪・フォロワーである『火車』の与えるダメージが+1されているので、2ダメージ与えます。
「フォロワーが与えるダメージを+1する。」という効果は、そのフォロワーの攻撃や交戦によるダメージだけでなく、能力によるダメージも+1します。