Q「《起動》手札のこれを捨てる：1枚引く。自分の手札1枚を捨てる。」という《起動》能力は、『開闢の予言者』が手札にある場合に有効となる能力ですか？

Aはい。手札にある場合に有効となる能力です。

Q「これは能力によって破壊されない。」という能力を持つ『開闢の予言者』に対して、『仁義の悪魔・ユヅキ』などが持つ能力の効果にある「墓場に置く」が適用された場合、墓場に置きますか？

Aはい。墓場に置きます。
「墓場に置く」という処理は能力による破壊ではないので、『開闢の予言者』の「これは能力によって破壊されない。」という能力は働きません。