Q『日輪のドラゴン』がEXエリアにある状況で、自分が手札を捨てた場合、『日輪のドラゴン』の「自分のターンごとに1回、自分が手札を捨てたとき、～」という能力は誘発しますか？

Aいいえ。誘発しません。
『日輪のドラゴン』の「自分のターンごとに1回、自分が手札を捨てたとき、～」という能力は、『日輪のドラゴン』が場にいる状況で、自分のターンごとに1回、手札を捨てたときに誘発します。

Q自分のエンドフェイズに手札の枚数上限の超過によって『日輪のドラゴン』を捨てたとき、『日輪のドラゴン』の能力でその『日輪のドラゴン』をEXエリアに置くことはできますか？

Aはい。『日輪のドラゴン』をEXエリアに置くことができます。