Q【ツインドライブ】を持つフォロワーが攻撃し、1回目のドライブチェックでトリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、このトリガーの処理と2回目のドライブチェックはどちらを先に行いますか？

Aトリガーの処理を先に行います。
1回目のドライブチェックでトリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、そのトリガーの処理を含むドライブチェックの処理がすべて終了した後に2回目のドライブチェックを行います。

例えば、【ツインドライブ】による1回目のドライブチェックでドロートリガーをトリガー領域に置き、そのトリガーの処理を実行した場合、1枚引き、トリガー領域のカードを墓場に置いた後に2回目のドライブチェックを行います。
トリガーの処理を実行しなかった場合やトリガーを持たないカードをトリガー領域に置いた場合は、そのカードをデッキの下に置いた後に2回目のドライブチェックを行います。

Q【ツインドライブ】が誘発し解決するタイミングとクイックタイミングはどちらが先ですか？

A【ツインドライブ】が誘発し解決するタイミングが先です。【攻撃時】能力などフォロワーが攻撃したときに誘発する能力をすべて解決した後、非ターンプレイヤーのクイックタイミングが訪れます。

Q自分の場のアクアフォース・フォロワーが攻撃した際のクイックタイミングで、そのフォロワーが破壊されていた場合、その攻撃は「そのターン中に自分の場のアクアフォース・フォロワーが攻撃した回数」に数えることができますか？

Aはい。攻撃フォロワーがクイックタイミングで破壊されていても攻撃した事象は発生しているため、「そのターン中に自分の場のアクアフォース・フォロワーが攻撃した回数」に数えることができます。