Q【ツインドライブ】を持つフォロワーが攻撃し、1回目のドライブチェックでトリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、このトリガーの処理と2回目のドライブチェックはどちらを先に行いますか？

Aトリガーの処理を先に行います。
1回目のドライブチェックでトリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、そのトリガーの処理を含むドライブチェックの処理がすべて終了した後に2回目のドライブチェックを行います。

例えば、【ツインドライブ】による1回目のドライブチェックでドロートリガーをトリガー領域に置き、そのトリガーの処理を実行した場合、1枚引き、トリガー領域のカードを墓場に置いた後に2回目のドライブチェックを行います。
トリガーの処理を実行しなかった場合やトリガーを持たないカードをトリガー領域に置いた場合は、そのカードをデッキの下に置いた後に2回目のドライブチェックを行います。

Q『銀の茨の竜使い ルキエ』の《ファンファーレ》能力で『ゴールデン・ビーストテイマー』1体と『ニトロジャグラー』1体を場に出しました。『ニトロジャグラー』の《ファンファーレ》能力を先に解決し、元のコスト2以下のペイルムーン・フォロワーを消滅させた場合、そのフォロワーを『ゴールデン・ビーストテイマー』の《ファンファーレ》能力で場に出すことができますか？

Aはい。場に出すことができます。
『銀の茨の竜使い ルキエ』の《ファンファーレ》能力で『ゴールデン・ビーストテイマー』と『ニトロジャグラー』を同時に場に出した場合、それぞれ《ファンファーレ》能力が誘発し、待機状態になります。
待機状態になっている自動能力は任意の順番で解決することができるため、『ニトロジャグラー』から解決し、元のコスト2以下のペイルムーン・フォロワーを消滅させた場合、その後『ゴールデン・ビーストテイマー』の《ファンファーレ》能力を解決する時点で、そのフォロワーは消滅領域にあるため、《ファンファーレ》能力で場に出すことができます。

Q自分の消滅領域が5枚の状況で、『銀の茨の竜使い ルキエ』をプレイし、《ファンファーレ》能力で『ミストレス・ハリケーン』1体と『ニトロジャグラー』1体を場に出しました。この場合、『ニトロジャグラー』の《ファンファーレ》能力を先に解決し、その後『ミストレス・ハリケーン』の《ファンファーレ》能力を解決することで、この『ミストレス・ハリケーン』は【疾走】を持ちますか？

Aはい。『ミストレス・ハリケーン』は【疾走】を持ちます。
『銀の茨の竜使い ルキエ』の《ファンファーレ》能力で『ミストレス・ハリケーン』と『ニトロジャグラー』を同時に場に出した場合、それぞれ《ファンファーレ》能力が誘発し、待機状態になります。
待機状態になっている自動能力は任意の順番で解決することができるため、『ニトロジャグラー』から解決し、「自分のデッキの上5枚を見る。その中から、2枚まで消滅させてよい。残りを好きな順にデッキの下に置く。」という能力によって、2枚を消滅させることで自分の消滅領域が5枚になります。その後『ミストレス・ハリケーン』の《ファンファーレ》能力を解決する時点で自分の消滅領域は5枚あるため、「自分の消滅領域が5枚以上なら、」の条件を満たし、【疾走】を持ちます。

Q【ツインドライブ】が誘発し解決するタイミングとクイックタイミングはどちらが先ですか？

A【ツインドライブ】が誘発し解決するタイミングが先です。【攻撃時】能力などフォロワーが攻撃したときに誘発する能力をすべて解決した後、非ターンプレイヤーのクイックタイミングが訪れます。