Q自分の場のフォロワーがドライブチェックを行い、トリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、そのトリガーの処理を実行する前に「自分の場のフォロワーがドライブチェックしたとき、～」という能力を解決することはできますか？

Aいいえ。ドライブチェックによる処理がすべて終了した後に「自分の場のフォロワーがドライブチェックしたとき、～」という能力を解決します。

Q自分の場のフォロワーの【ツインドライブ】が働いた場合、このフォロワーの「自分の場のフォロワーがドライブチェックしたとき、」という能力は2回誘発しますか？

Aはい。2回誘発します。
【ツインドライブ】が働いた場合、1回目のドライブチェックと2回目のドライブチェックの際にそれぞれ誘発して待機状態になります。その後【ツインドライブ】の処理がすべて終了した後のチェックタイミングで待機状態になっている能力を解決します。