Q【ツインドライブ】を持つフォロワーが攻撃し、1回目のドライブチェックでトリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、このトリガーの処理と2回目のドライブチェックはどちらを先に行いますか？

Aトリガーの処理を先に行います。
1回目のドライブチェックでトリガーを持つカードをトリガー領域に置いた場合、そのトリガーの処理を含むドライブチェックの処理がすべて終了した後に2回目のドライブチェックを行います。

例えば、【ツインドライブ】による1回目のドライブチェックでドロートリガーをトリガー領域に置き、そのトリガーの処理を実行した場合、1枚引き、トリガー領域のカードを墓場に置いた後に2回目のドライブチェックを行います。
トリガーの処理を実行しなかった場合やトリガーを持たないカードをトリガー領域に置いた場合は、そのカードをデッキの下に置いた後に2回目のドライブチェックを行います。

Q【覚醒】状態であり、自分の場に他のかげろう・フォロワーが1体いる状況で、【疾走】を持った『ドラゴニック・オーバーロード』が場に出たターンに攻撃し、攻撃目標として相手のリーダーを選択しました。その後のクイックタイミングにおいて『エクスキューション』などで自分の場の他のかげろう・フォロワーが破壊され、攻撃している『ドラゴニック・オーバーロード』が【疾走】を失った場合、その攻撃は行われますか？

Aはい。攻撃している途中で【疾走】を失っていても、その攻撃は行われます。

Q『ドラゴニック・オーバーロード』の「【覚醒】状態であり、自分の場に他のかげろう・フォロワーがいる限り、これは【疾走】を持つ。」という能力は永続能力ですか？

Aはい。永続能力です。【覚醒】状態かつ、自分の場に他のかげろう・フォロワーがいる限り、『ドラゴニック・オーバーロード』は【疾走】を持ちます。
『ドラゴニック・オーバーロード』を場に出した後に条件2つを満たした場合、【疾走】を持ちます。
『ドラゴニック・オーバーロード』を場に出した後にいずれかの条件を満たさなくなった場合、【疾走】を失います。

Q【ツインドライブ】が誘発し解決するタイミングとクイックタイミングはどちらが先ですか？

A【ツインドライブ】が誘発し解決するタイミングが先です。【攻撃時】能力などフォロワーが攻撃したときに誘発する能力をすべて解決した後、非ターンプレイヤーのクイックタイミングが訪れます。