Q「《起動》《コスト3》手札のこれを捨てる：相手の場のフォロワー1体を選ぶ。それに5ダメージ。自分のデッキの上1枚を墓場に置く。」という《起動》能力は、『仁義の悪魔・ユヅキ』が手札にある場合に有効となる能力ですか？

Aはい。手札にある場合に有効となる能力です。

Q【オーラ】と「これは能力によって破壊されない。」を持つ『ヘヴンリーイージス』が相手の場に1体のみいる状況で、『仁義の悪魔・ユヅキ』の《ファンファーレ》能力をプレイする場合、相手プレイヤーは自身の場の『ヘヴンリーイージス』を墓場に置きますか？

Aはい。相手プレイヤーは自身の場の『ヘヴンリーイージス』を墓場に置きます。
【オーラ】は相手の能力によって選ぶことのみを禁止する能力です。
また、「墓場に置く」という処理は能力による破壊ではないので、『ヘヴンリーイージス』の「これは能力によって破壊されない。」という能力は働きません。